Exercices corrigés – 2nd Calcul de distances Exercice 1 Dans un repère orthonormé, on donne les points $A3;7$, $B-3;1$ et $C1;-3$. Démontrer que le triangle $ABC$ est un triangle rectangle. Est-il isocèle? Justifier. $\quad$ Correction Exercice 1 $AB^2 = x_B-x_A^2+y_B-y_A^2 $ $= -3 – 3^2 + 1 – 7^2 = -6^2+-6^2=72$. $AC^2 = 1-3^2+-3-7^2 = -2^2+-10^2 = 104$ $BC^2=1+3^2+-3-1^2=4^2+-4^2=32$ $\quad$ Dans le triangle $ABC$, $[AC]$ est le plus grand côté. D’une part $AC^2 = 104$. D’autre part $AB^2+BC^2 = 72+32 = 104$ Par conséquent $AC^2=AB^2+BC^2$. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. $\quad$ Mais $BC \neq AB$. Le triangle $ABC$ n’est donc pas isocèle. $\quad$ [collapse] $\quad$ Exercice 2 Le repère est orthonormé. Déterminer dans chacun des cas les distances $AB$, $AC$ et $BC$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle? $A3;0$, $B-1;0$, $C-1;3$ $\quad$ $A-2;3$, $B3;2$, $C0;0$ $\quad$ $A0;5$, $B3;6$, $C5;-2$ $\quad$ Correction Exercice 2 $AB^2=x_B-x_A^2+y_B-y_A^2 $ $= -1-3^2+0-0^2 = 16$ $AB = \sqrt{16} = 4$ $\quad$ $AC^2 = -1-3^2+3-0^2 = -4^2+3^2 = 25$ $AC=\sqrt{25} = 5$ $\quad$ $BC^2 = -1+1^2+3-0^2 = 0^2 + 3^2 = 9$ $BC=\sqrt{9} = 3$ $\quad$ Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[AC]$. D’une part $AC^2 = 25$ D’autre part $AB^2+BC^2 = 9 + 16 = 25$ $\quad$ Par conséquent $AC^2=AB^2+BC^2$ D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. $\quad$ $AB^2=x_B-x_A^2+y_B-y_A^2 $ $= 3+2^2+2-3^2 = 5^2 + -1^2 $ $= 25 + 1 = 26$ $AB = \sqrt{26}$ $\quad$ $AC^2=0+2^2+0-3^2 = 2^2 + -3^2 = 4 + 9 = 13$ $AC = \sqrt{13}$ $\quad$ $BC^2=0-3^2+0-2^2 = -3^2+-2^2=9+4=13$ $BC = \sqrt{13}$ $\quad$ Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[AB]$. D’une part $AB^2 = 26$ D’autre part $AC^2+BC^2 = 13 + 13$. $\quad$ Par conséquent $AB^2=AC^2+BC^2$. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$. De plus $AC=BC$. Le triangle est donc rectangle isocèle en $C$. $\quad$ $AB^2 = x_B-x_A^2+y_B-y_A^2 $ $= 3+2^2+2-3^2 =3-0^2+6-5^2$ $=3^2+1^2=10$ $AB = \sqrt{10}$ $\quad$ $AC^2=5-0^2+-2-5^2 = 5^2 + -7^2 = 25 + 49 = 74$ $AC=\sqrt{74}$ $\quad$ $BC^2 = 5-3^2+-2-6^2 = 2^2+-8^2 = 4 + 64 = 68$. $BC=\sqrt{68}$ $\quad$ Dans le triangle $ABC$ le plus grand côté est $[AC]$. D’une part $AC^2=74$ D’autre part $AB^2+BC^2 = 10+68 = 78$ Par conséquent $AC^2 \neq AB^2+BC^2$. D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ n’est pas rectangle. $\quad$ [collapse] $\quad$ Coordonnées du milieu Exercice 3 On considère les points $A3;4$ et $B2;2$ du plan muni d’un repère. Déterminer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$. $\quad$ Correction Exercice 3 $I$ est le milieu de $[AB]$ donc $\begin{cases} x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2} \\\\y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases}$ d’où $\begin{cases} x_I=\dfrac{3+2}{2} = \dfrac{5}{2} \\\\y_I=\dfrac{4+2}{2} = 3 \end{cases}$ Par conséquent $I\left\dfrac{5}{2};3 \right$ $\quad$ [collapse] $\quad$ Exercice 4 On considère un repère du plan. Dans chacun des cas, déterminer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$. $A1;-5$ et $B3;-9$ $\quad$ $A-2;1$ et $B2;0$ $\quad$ $A\left-3;\sqrt{2}\right$ et $B\left2;-\sqrt{2}\right$ $\quad$ $A1;-3$ et $B-1;3$ $\quad$ Correction Exercice 4 $x_I = \dfrac{1 + 3}{2} = 2$ et $y_I=\dfrac{-5-9}{2} = -7$ Donc $I2;-7$ $\quad$ $x_I=\dfrac{-2 + 2}{2} = 0$ et $y_I = \dfrac{1 + 0}{2} = \dfrac{1}{2}$ Donc $I\left0;\dfrac{1}{2} \right$ $\quad$ $x_I=\dfrac{-3+2}{2} = -\dfrac{1}{2}$ et $y_I=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2} = 0$. Donc $I\left-\dfrac{1}{2};0 \right$. $\quad$ $x_I=\frac{1-1}{2} = 0$ et $y_I=\dfrac{-3+3}{2} = 0$. Donc $I0;0$ est l’origine du repère. $\quad$ [collapse] $\quad$ Problèmes généraux Exercice 5 Dans un repère du plan, on considère les points $E3;4$, $F6;6$ et $G4;-1$. Calculer les coordonnées du point $H$ tels que $EFGH$ soit un parallélogramme. $\quad$ Correction Exercice 5 On appelle $K$ le milieu de $[EG]$. $\begin{cases} x_K=\dfrac{x_E+x_G}{2} \\\\y_K=\dfrac{y_E+y_G}{2} \end{cases}$ Soit $\begin{cases} x_K = \dfrac{3+4}{2} \\\\y_K=\dfrac{4+-1}{2} \end{cases}$ $\begin{cases} x_K = \dfrac{7}{2}\\\\y_K=\dfrac{3}{2} \end{cases}$ Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. $K$ est donc également le milieu de $[FH]$. $\begin{cases} x_K=\dfrac{x_F+x_H}{2} \\\\y_K=\dfrac{y_F+y_H}{2} \end{cases}$ Soit $\begin{cases} \dfrac{7}{2} = \dfrac{6+x_H}{2} \\\\\dfrac{3}{2}=\dfrac{6+y_H}{2} \end{cases}$ On multiplie chacune des équations par $2$ les deux côtés! afin de ne plus avoir de dénominateur $\begin{cases} 7 = 6+x_H\\\\3=6+y_H \end{cases}$ Finalement $\begin{cases}x_H=1 \\\\y_H=-3 \end{cases}$ $\quad$ Donc $H1;-3$ $\quad$ [collapse] $\quad$ Exercice 6 Dans le repère orthonormé $O;I,J$ du plan, on considère les points $A-2;-3$ et $B4;1$. Les points $M3;2$ et $N\left-2;\dfrac{5}{2} \right$ sont-ils sur le cercle de diamètre $[AB]$? Justifier. $\quad$ Correction Exercice 6 Un point est sur un cercle donné si la distance le séparant du centre du cercle est égale au rayon du cercle. Déterminons dans un premier temps les coordonnées du centre $I$ du cercle. Il s’agit du milieu de $[AB]$. $\begin{cases} x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2} = \dfrac{-2+4}{2} = 1\\\\y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2} = \dfrac{-3+1}{2}=-1 \end{cases}$ $I$ a donc pour coordonnées $1;-1$ $\quad$ Le rayon du cercle est $OA$. $OA^2 = x_A-x_O^2+y_A-y_O^2$ $=-2 – 1^2 + -3 +1^2 = -3^2+-2^2 $ $=9+4 = 13$. Donc $OA = \sqrt{13}$. Calculons maintenant $OM$ $OM^2 = 3 -1^2+2+1^2 = 2^2+3^2 = 4 + 9 = 13$ Donc $OM= \sqrt{13} = OA$. Le point $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ $\quad$ Calculons enfin $ON$ $ON^2 = -2-1^2+\left\dfrac{5}{2}+1 \right^2$ $ = -3^2 + \left\dfrac{7}{2} \right^2 = \dfrac{85}{4}$ Donc $ON = \sqrt{\dfrac{85}{4}} \neq OA$. Le point $N$ n’appartient pas au cercle de diamètre $[AB]$. $\quad$ [collapse] $\quad$ Exercice 7 Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points $A4;1$, $B0;4$ et $C-6;-4$. Calculer $AB$, $AC$ et $BC$. $\quad$ En déduire que le triangle $ABC$ est rectangle. $\quad$ Trouver ensuite les coordonnées du centre du cercle circonscrit à ce triangle. Quel est son rayon? $\quad$ Correction Exercice 7 $AB^2 = 0 – 4^2+4-1^2= -4^2+3^2=25$. Donc $AB = 5$ $AC^2 = -6 – 4^2+-4-1^2 = -10^2 + -5^2 = 125$. Donc $AC = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ $BC^2=-6-0^2+-4-4^2 = -6^2+-8^2 = 100$. Donc $BC=10$. $\quad$ Dans le triangle $ABC$, $[AC]$ est le plus grand côté. D’une part $AC^2 = 125$ D’autre part $AB^2+BC^2 = 25+100 = 125$ Donc $AC^2=AB^2+BC^2$. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. $\quad$ Le centre $I$ du cercle circonscrit est donc le milieu de l’hypoténuse $[AC]$. On a ainsi $\begin{cases} x_I=\dfrac{x_A+x_C}{2} = \dfrac{4-6}{2} = -1 \\\\y_I=\dfrac{y_A+y_C}{2} = \dfrac{1-4}{2} = -\dfrac{3}{2} \end{cases}$ Par conséquent $I\left-1;-\dfrac{3}{2} \right$ $\quad$ Le rayon du cercle est donc $\dfrac{AC}{2} = \dfrac{5\sqrt{5}}{2}$ $\quad$ [collapse] $\quad$ Exercice 8 Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points $A-5;-3$, $B8;3$, $M1;1$ et $N\left -3;\dfrac{39}{4}\right$. Les points $M$ et $N$ sont-ils sur la médiatrice du segment $[AB]$? Justifier. $\quad$ Correction Exercice 8 Un point est sur la médiatrice d’un segment s’il est équidistant des extrémités. Calculons et comparons $AM$ et $BM$ $AM^2=1+5^2+1+3^2 = 6^2+4^2=52$ donc $AM = \sqrt{52}$ $BM^2=1-8^2+1-3^2=-7^2+-2^2=53$ donc $BM=\sqrt{53}$ Par conséquent $AM \neq BM$. Le point $M$ n’appartient pas à la médiatrice de $[AB]$. $\quad$ Calculons et comparons $AN$ et $BN$ $AN^2=-3+5^2+\left\dfrac{39}{4} + 3\right^2 $ $= 2^2+\left\dfrac{51}{4}\right^2=\dfrac{2665}{16}$. Donc $AN = \dfrac{\sqrt{2665}}{4}$ $BN^2=-3-8^2+\left\dfrac{39}{4} – 3\right^2 $ $= -11^2+\left\dfrac{27}{4}\right^2=\dfrac{2665}{16}$. Donc $BN= \dfrac{\sqrt{2665}}{4}$ Par conséquent $AN=BN$. Lepoint $N$ appartient à la médiatrice de $[AB]$. $\quad$ [collapse] $\quad$ Exercice 9 Dans le plan muni d’un repère orthonormé $O;I,J$ on considère les points $A-3;0$, $B2;1$, $C4;3$ et $D-1;2$. Placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$. $\quad$ Démontrer que les segments $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu $K$. $\quad$ Montrer que le triangle $OBD$ est rectangle est isocèle. $\quad$ On considère le point $E$ du plan tel que $BODE$ soit un parallélogramme. Quelles sont les coordonnées de $E$. $\quad$ Calculer $AE$. $\quad$ Correction Exercice 9 $\quad$ Soit $K$ le milieu de $[AC]$. On a ainsi $\begin{cases} x_K=\dfrac{-3+4}{2}=\dfrac{1}{2} \\\\y_K=\dfrac{0+3}{2}=\dfrac{3}{2} \end{cases}$ $\quad$ Soit $K’$ le milieu de $[BD]$. On a ainsi $\begin{cases} x_{K’}=\dfrac{2-1}{2}=\dfrac{1}{2} \\\\y_{K’}=\dfrac{1+2}{2}=\dfrac{3}{2} \end{cases}$ $\quad$ Par conséquent $K$ et $K’$ sont ayant les mêmes coordonnées sont confondus et les segments $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu. $\quad$ Calculons les longueurs $OB$, $OD$ et $BD$. $OB^2=2-0^+1-0^= 5$ donc $OB=\sqrt{5}$ $OD^2=-1-0^2+2-0^2 = 5$ donc $OD=\sqrt{5}$. Le triangle $OBD$ est donc isocèle en $O$. $BD^2=-1-2^2+2-1^2 = -3^2+1^2 = 10$ donc $BD=\sqrt{10}$. $\quad$ Dans le triangle $OBD$, le plus grand côté est $[BD]$. D’une part $BD^2 = 10$ D’autre part $OB^2+OD^2 = 5 + 5 = 10$ Par conséquent $BD^2=OB^2+OD^2$ et d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $OBD$ est également rectangle en $O$. $\quad$ $BODE$ est un parallélogramme, par conséquent ses diagonales $[BD]$ et $[OE]$ se coupent en leur milieu $K$. On obtient ainsi $\begin{cases} x_K=\dfrac{x_O+x_E}{2} \\\\y_K=\dfrac{y_O+y_E}{2} \end{cases}$ soit $\begin{cases} \dfrac{1}{2} = \dfrac{0+x_E}{2} \\\\ \dfrac{3}{2} = \dfrac{0+y_E}{2} \end{cases}$ $\quad$ Finalement $E1;3$. $\quad$ $AE^2=1+3^2+3-0^2 = 4^2+3^2 = 25$ donc $AE = 5$. $\quad$ [collapse] $\quad$ Exercice 10 Dans un repère orthonormé $O;I,J$ du plan on considère les points $A-2;-4$, $B-4;0$ et $C2;3$. Quelle est la nature du triangle $ABC$? $\quad$ Déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit à ce triangle. $\quad$ Le point $D0;2$ appartient-il au cercle de centre $B$ et de rayon $\sqrt{20}$? $\quad$ Correction Exercice 10 $AB^2=-4-2^2+0-4^2=-2^2+4^2=4+16=20$ $AC^2=2-2^2+3-4^2=4^2+7^2=16+49=65$ $BC^2=2-4^2+3-0^2=6^2+3^2=36+9=45$ Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[AC]$. D’une part $AC^2=65$. D’autre part $AB^2+BC^2=20+45=65$. Ainsi $AC^2=AB^2+BC^2$. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. $\quad$ Le centre $M$ du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l’hypoténuse. Ainsi ici $M$ est le milieu de $[AC]$. Par conséquent $\begin{cases}x_M=\dfrac{-2+2}{2}=0\\\\y_M=\dfrac{-4+3}{2}=-\dfrac{1}{2}\end{cases}$. D’où $M\left0;-\dfrac{1}{2}\right$. $\quad$ $BD=\sqrt{\left0-4\right^2+2-0^2} = \sqrt{16+4}=\sqrt{20}$. Par conséquent le point $D$ appartient au cercle de centre $B$ et de rayon $\sqrt{20}$. $\quad$ [collapse] $\quad$ Exercice 11 Dans un repère orthonormé $O;I,J$ on considère les points $A1;-1$, $B-2;0$ et $C-1;3$. Quelle est la nature du triangle $ABC$? Justifier. $\quad$ Déterminer les coordonnées du point $D$ symétrique du point $B$ par rapport au point $A$. $\quad$ Déterminer les coordonnées du point $E$ tel que $ECAB$ soit un parallélogramme. $\quad$ Correction Exercice 11 On calcule les longueurs des trois côtés du triangle. $AB=\sqrt{-2-1^2+0+1^2}=\sqrt{10}$ $BC=\sqrt{-1+2^2+3-0^2}=\sqrt{10}$ $AC=\sqrt{-1-1^2+3+1^2}=\sqrt{20}$ On constate que $AB=BC$. Le triangle $ABC$ est donc isocèle en $B$. On constate également que $AB^2+BC^2=10+10=20=AC^2$. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est également rectangle en $B$. $\quad$ Le point $A$ est donc le milieu du segment $[BD]$ Ainsi $x_A=\dfrac{x_B+x_D}{2} \ssi 1=\dfrac{-2+x_D}{2}\ssi 2=xD-2 \ssi x_D=4$ et $y_A=\dfrac{y_B+y_D}{2} \ssi -1=\dfrac{0+y_D}{2}\ssi -2=yD$ Par conséquent $D4;-2$. $\quad$ On appelle $M$ le milieu du segment $[BC]$ Ainsi $x_M=\dfrac{-2-1}{2}=-\dfrac{3}{2}$ et $y_M=\dfrac{0+3}{2}=\dfrac{3}{2}$. $ECAB$ est un parallélogramme. Ses diagonales se coupent donc en leur milieu. $M$ est donc également le milieu du segment $[EA]$. Par conséquent $-\dfrac{3}{2}=\dfrac{x_E+1}{2} \ssi -3=x_E+1\ssi x_E=-4$ $\dfrac{3}{2}=\dfrac{y_E-1}{2} \ssi 3=y_E-1 \ssi y_E=4$. Ainsi $E-4;4$. $\quad$ [collapse] $\quad$